ほぼ数学科の大学生の備忘録。

都内理系大学生が数学/物理等の解説をあげていくブログです。

束の分配不等式の証明

束の分配不等式の証明が少し調べたところ見つかりにくかった(というより日本語では見つけられなかった)ので、書いておこうと思います。

そもそも、束の分配不等式とは何かというと、任意の束の任意の元A,B,Cについて、

A \land (B \lor C) \geq (A \land B ) \lor (A \land C)

A \lor (B \land C) \leq (A \lor B ) \land (A \lor C)

が成り立つ、というものである。これが任意の組み合わせについて等号で成り立つとき、その束を分配束という。

確認だが、

A \leq B \Leftrightarrow A \land B =A または A \lor B=B

である。

また、この定義から

A \land B = \sup\{A,B\} , A \lor B = \inf\{A,B\}

であることが示される。 

では、実際に証明してみる。

第1式のみ証明する。

\leqの定義より、A\geq A\land BA\geq A\land C であるので、

A \geq (A\land B) \lor (A \land C)が成り立つ。

これは、Aが(A\land B)(A\land C)の上界に入っており、右辺は最小の上界であることから示される。

また、(B \lor C) \geq B \geq (A \land B)(B \lor C) \geq B \geq (A \land C)であるので、上と同様にして

(B \lor C) \geq (A\land B)\lor (A \land C)

が成り立つ。

したがって、示したい式の右辺はAとB \land Cの下界であり、左辺はAとB \land Cの最大の下界なので、(左辺)\geq(右辺)が成立する。

 第2式も同様にして示される。