束の分配不等式の証明 - ほぼ数学科の大学生の備忘録。

束の分配不等式の証明が少し調べたところ見つかりにくかった（というより日本語では見つけられなかった）ので、書いておこうと思います。

そもそも、束の分配不等式とは何かというと、任意の束の任意の元A,B,Cについて、

$A \land (B \lor C) \geq (A \land B ) \lor (A \land C)$

$A \lor (B \land C) \leq (A \lor B ) \land (A \lor C)$

が成り立つ、というものである。これが任意の組み合わせについて等号で成り立つとき、その束を分配束という。

確認だが、

$A \leq B \Leftrightarrow A \land B =A または　A \lor B=B$

である。

また、この定義から

$A \land B = \sup\{A,B\} , A \lor B = \inf\{A,B\}$

であることが示される。

では、実際に証明してみる。

第１式のみ証明する。

$\leq$ の定義より、 $A\geq A\land B$ , $A\geq A\land C$ であるので、

$A \geq (A\land B) \lor (A \land C)$ が成り立つ。

これは、Aが $(A\land B)$ と $(A\land C)$ の上界に入っており、右辺は最小の上界であることから示される。

また、 $(B \lor C) \geq B \geq (A \land B)$ 、 $(B \lor C) \geq B \geq (A \land C)$ であるので、上と同様にして

$(B \lor C) \geq (A\land B)\lor (A \land C)$

が成り立つ。

したがって、示したい式の右辺はAと $B \land C$ の下界であり、左辺はAと $B \land C$ の最大の下界なので、(左辺) $\geq$ (右辺)が成立する。

第２式も同様にして示される。