Legendre多項式関連の式 - ほぼ数学科の大学生の備忘録。

Legendre多項式についての次の式の証明がネットで調べても見つからなかったので紹介しておきます。 $P_n(cos \theta )=\cfrac{1}{n} \sum_{r=1}^n cos(r \theta )P_{n-r}(cos \theta ) \tag{1}$ まず、n=1,2については、 \[ P_0(x)=1,\ P_1(x)=x,\ P_2(x)=\cfrac{3x^2-1}{2}\]などから直接示すことができます(cosの加法定理を用います)。次に、n=k,k-1での成立を仮定します。ここで重要になるのは、cosについての次の式です。 \[ \tag{2} \cos(r+1)\theta+\cos(r-1)\theta=2\cos\theta\cos r\theta \] また、ボネの漸化式と呼ばれる以下の漸化式も、今回の証明に利用しますが、そうでなくてもLegendre多項式の重要な式の一つです。 \[\begin{align} \tag{3} (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)P_n(x)-nP_n(x)\end{align} \] 以下、 \[ Q_n(\theta)=\sum_{r=1}^k\cos(r\theta)P_{k-r}(\cos\theta)\] とします。このとき、（１）式は \[ P_n(\cos\theta)=\cfrac{1}{n}Q_n(\cos\theta) \] と書けます。また、（２）式より、 $\begin{align} 2\cos\theta Q_n(\cos\theta)&=\sum_{r=1}^k\cos(r+1)\theta \ P_{k-r}(\cos\theta)+\sum_{r=1}^k\cos(r-1)\theta \ P_{k-r}(\cos\theta)\\ &=\left(Q_{k+1}(\cos\theta)-\cos\theta\ P_k(\cos\theta)\right)+\left(Q_{k-1}(\cos\theta)+P_{k-1}(\cos\theta)\right)\end{align}$
となります（１行目→２行目は余分な項を引いて帳尻を合わせています）。さらに変形を進めて、
$\begin{align} Q_{k+1}(\cos\theta)&=(2k+1)\cos\theta\ P_k(\cos\theta)-k\ P_{k-1}(\cos\theta)\\ &=(k+1)P_{k+1}(\cos\theta) \end{align}$
これは、（１）式がn=k+1でも成立することを表しています。以上より、任意の自然数nに対して、 \[ P_n(\cos\theta)=\cfrac{1}{n}\sum_{r=1}^n\cos(r\theta)P_{n-r}(cos\theta) \] が成立することが示されました。