加算非加算無限 - ほぼ数学科の大学生の備忘録。

無限には二種類あるということを知っていますか？

聞いたことがある人も多いと思いますが、無限は自然数の無限である加算無限と、実数の無限である非加算無限があります。

無限集合のうち、自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ から全単射が存在する集合を加算無限集合といいます。逆に、 $\mathbb{N}$ からの全単射が存在しない集合を非加算無限集合といいます。
全単射が存在するということは、その集合の要素に一対一対応が存在するということなので、イメージとしては集合の要素の「数」が同じ、ということです。

感覚として分かる人も多いかと思いますが、例えば自然数のうち偶数だけを取ってきた集合(ここでは $\mathbb{N}_{even}$ と書きます)や、整数全体の集合 $\mathbb{Z}$ は加算無限集合です。
$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}_{even}$ への全単射fは、例えば
$\displaystyle f(n)=2n$
とすることで得られ、 $\mathbb{N}$ から $\mathbb{Z}$ への全単射gは、例えば
$\displaystyle g(n)=\begin{cases} \cfrac{n-1}{2}\ (nが奇数) \\ \cfrac{n}{2}\ (nが偶数) \end{cases}$
とすることで得られます。

また、非加算無限集合の代表例は、実数全体の集合 $\mathbb{R}$ です。
$\mathbb{N}$ と $\mathbb{R}$ の間に全単射が存在しないことを示すには、対角線論法という論法を使うのですが、これの説明は次回に回したいと思います。