ほぼ数学科の大学生の備忘録。

都内理系大学生が数学/物理等の解説をあげていくブログです。

ベルンシュタインの定理(1)

前回が集合論の加算無限非加算無限の話でしたが、今回は集合の濃度に関する定理、ベルンシュタインの定理の紹介とその説明をします。

集合の濃度とは、直感的には集合の要素の個数、もしくは大きさです。但し濃度は有限集合に限らず無限集合に対しても定義されます。

具体的には、k個の要素から成る有限集合AにたいしてはAの濃度 |A|=k とし、無限集合B,Cに対して、BからCへの全単射がある時に |B|=|C| とします。全単射があるということは、その各要素に対して一対一の対応が取れるということなので、全単射があるときの集合の「大きさ」が等しいという定義は合理的に思えます。

また、集合A,Bに対してAからBへの単射が存在するときに、 |A|\leq|B| と定義します。AからBへの単射があるということは、Aの要素に対して対応する要素がBの中にあるということを表しており、BのAの要素に対応しない要素も存在する可能性があることから、Bの要素の数の方がAの要素の数よりも多くなるというのが直感的な説明です。

この元で、ベルンシュタインの定理とは、
|A|\leq|B|かつ|B|\leq|A| ならば |A|=|B| である

というものです。有限集合について考えれば当然の定理ですが、無限集合に対してもこれが適用できます。

少し長くなってきたので証明はまた次回とします。