ほぼ数学科の大学生の備忘録。

数学/物理の話をしていく…つもりだった……

ベルンシュタインの定理（２）

大学数学

今回は、ベルンシュタインの定理を証明します。

まず、 $|A| \leq |B|$ かつ $|B| \leq |A|$ であるとします。濃度の大小関係の定義から $A$ から $B$ への単射 $f$ と $B$ から $A$ への単射 $g$ が存在します。ここで、写像 $h:A \to A$ として $h=g \circ f$ を考えます。

この元で、 $A$ の部分集合の列 $\{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を、以下のように考えます。

$A_0=A,A_1=g(B),A_{n+2}=g\circ f(A_n)\ (n=0,1,2\cdots)$

こうすると、この列は減少列、つまり $A_0 \supset A_1 \supset A_2 \cdots$ となります。

また、 $f,g$ が単射なのでその合成 $h=g \circ f$ も単射です。そのため、 $g \circ f$ を各 $A_n$ から $A_{n+2}$ への写像としてみると全単射とみなせます。つまり、

\[ |A_1|=|A_3|=|A_5|=\cdots ,\ |A_0|=|A_2|=|A_4|=\cdots\]

であることがわかります。同様にして $g$ は $B$ から $A_1$ への全単射とみなせるので、 $|B|=|A_1|$ です。

以上より、 $|A|=|A_1|$ を示せば、 $|A|=|B|$ であることが示せます。

これは具体的に全単射を構成することで示します。

まず、\( K=\cup_{i=1}^{\infty}A_i \)とします。このもとで、\( \Phi:A\to A_1\)を

\[ \Phi(x)=\begin{cases}
h(x)\ &(x\in A_{2n+1} \setminus A_{2n})\\
x &(x\ \in \left( A_{2n+2}\setminus A_{2n} \right)\cup K)
\end{cases} \]

とすればこれは全単射となり、ベルンシュタインの定理が証明できたことになります。

最後の写像は、イメージとしては二つずつ内側に押し込めていくイメージです。実際に図を書いてみて確認してみてください。