ほぼ数学科の大学生の備忘録。

都内理系大学生が数学/物理等の解説をあげていくブログです。

ベルンシュタインの定理(2)

今回は、ベルンシュタインの定理を証明します。

まず、 |A| \leq |B| かつ |B| \leq |A| であるとします。濃度の大小関係の定義からAからBへの単射 fBからAへの単射 g が存在します。ここで、写像 h:A \to A としてh=g \circ f を考えます。

この元で、Aの部分集合の列 \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}} を、以下のように考えます。

A_0=A,A_1=g(B),A_{n+2}=g\circ f(A_n)\ (n=0,1,2\cdots)

こうすると、この列は減少列、つまり A_0 \supset A_1 \supset A_2 \cdots となります。

また、 f,g単射なのでその合成 h=g \circ f単射です。そのため、 g \circ f を各 A_n から A_{n+2} への写像としてみると全単射とみなせます。つまり、

\[ |A_1|=|A_3|=|A_5|=\cdots ,\ |A_0|=|A_2|=|A_4|=\cdots\]

であることがわかります。同様にして gB から A_1 への全単射とみなせるので、 |B|=|A_1| です。

以上より、 |A|=|A_1| を示せば、 |A|=|B| であることが示せます。

これは具体的に全単射を構成することで示します。

まず、\( K=\cup_{i=1}^{\infty}A_i \)とします。このもとで、\( \Phi:A\to A_1\)を

\[ \Phi(x)=\begin{cases}
h(x)\ &(x\in A_{2n+1} \setminus A_{2n})\\
x &(x\ \in \left( A_{2n+2}\setminus A_{2n} \right)\cup K)
\end{cases} \]

とすればこれは全単射となり、ベルンシュタインの定理が証明できたことになります。

最後の写像は、イメージとしては二つずつ内側に押し込めていくイメージです。実際に図を書いてみて確認してみてください。