行列式とトレース - ほぼ数学科の大学生の備忘録。

お久しぶりです。気づけば1年近く放置しておりました。

今回は2次形式とトレースの関係式

$\begin{equation} x^TAx = {\rm tr}(Axx^T) \end{equation}$

というものを紹介したいと思います。ただし、 $A$ は正方行列、 $x$ は適当な大きさのベクトルです。

証明は簡単で、 $A=(a_{ij}),x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ としたときに、

$\begin{align} x^TAx &=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\left(\begin{array}{c} \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{1j}x_j \\ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j\\ \vdots\\ \displaystyle \sum_{j=1}^n a_{nj}x_j \end{array} \right) \\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_ia_{ij}x_j \end{align}$
であり、
$\begin{align} (Axx^T) &= \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left(\begin{array}{cccc} x_1x_1 & x_1x_2 & \cdots &x_1x_n\\ x_2x_1 & x_2x_2 & \cdots & x_2x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_nx_1 & x_nx_2 & \cdots & x_nx_n \end{array} \right)\\ \\ &=\left(\begin{array}{cccc} \sum_{j=1}^n a_{1j}x_jx_1 & & & {\Large {*}}\\ & \sum_{j=1}^n a_{2j} x_jx_2& & \\ & & \ddots & \\ {\Large {*}}& & & \sum_{j=1}^n a_{nj}x_jx_n \end{array} \right) \end{align}$
のtraceをとれば
$\begin{align} {\rm tr}(Axx^T) &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_ia_{ij}x_j\\ &=x^TAx \end{align}$
となることが示せます。

行列やシグマの計算に慣れる意味でも一度自分で証明してみるといいと思います（ $\LaTeX$ でやるのは少々めんどくさいです）。