楕円曲線上のねじれ群の分解 - ほぼ数学科の大学生の備忘録。

$E$ を，体 $K$ 上の楕円曲線としたときに，互いに素な整数 $a,b$ について
\begin{equation}
E[ab] \simeq E[a] \oplus E[b]
\end{equation}

となることの証明につまずいたのでメモしておく．

ここで示す必要があるのは，

直和の正当性
同型写像の存在

の2つ．

直和の正当性

直和の正当性をしめすには，

共通部分が自明（無限遠点のみ）
和が一意

の2つを示せばよい．

共通部分が自明

まず，前者について， $P \in E[a] \cap E[b]$ を取ると， $P$ の位数 ${\rm ord}\ P$ は $a,b,$ をともに割り切る．
$a,b$ は互いに素なので， ${\rm ord}\ P = 1$ となり， $P = \infty$ が示される．

和が一意

後者について，
\begin{equation}
P_1 + Q_1 = P_2 + Q_2\
\left(
\begin{aligned}
P_1,P_2 &\in E[a] \\
Q_1,Q_2&\in E[b]
\end{aligned}
\right)
\end{equation}
であると仮定する．このとき $P_1 = P_2,\ Q_1 = Q_2$ であることを示せばよいが，
\begin{equation}
P_1 - P_2 = Q_2 - Q_1
\end{equation}
であり，左辺は $E[a]$ の元の引き算なので $E[a]$ の元で，同様に右辺は $E[b]$ の元である．
既に $E[a] \cap E[b] = \{\infty\}$ であることは示しているので，
\begin{equation}
P_1 - P_2 = Q_2 - Q_1 = \infty
\end{equation}
となり， $P_1 = P_2,\ Q_1 = Q_2$ が従う．

以上より，直和の正当性は示されれた．

同型写像の構成

次に，具体的に写像を与えて，その同型性を示す．
直感的にもそうだが，同型写像は
\begin{equation}
P\in E[ab] \mapsto ([b]P,[a]P) \in E[a] \oplus E[b]
\end{equation}
とする*1．この写像の準同型性はスカラー倍の準同型性に帰着されるので明らか．
従ってここではこの写像が全単射（従って，単射性と全射性）を示せばよいことになる．以下，この写像を $\psi$ と置く．

単射性

$P_1, P_1 \in E[ab]$ について， $\psi(P_1)=\psi(P_2)$ とすると，特に $[a]P_1 = [a]P_2$ なので，
\begin{align}
[a]P_1 - [a]P_2 &= \infty \\
[a](P_1-P_2) &= \infty \\
P_1 - P_2 &\in E[a]
\end{align}
となる．同様に， $P_1 - P_2 \in E[b]$ も示されるので，
\begin{equation}
P_1 - P_2 \in E[a] \cap E[b] = \{\infty\}
\end{equation}
より， $P_1 = P_2$ が従う．よって $\psi$ が単射であることが示された．

全射性

$P\in E[a], Q \in E[b]$ を固定する．

ねじれ群は，代数閉包 $\bar{K}$ 上で定義されることに注意する． $E(K) \to E(K)$ なる自己準同型写像は全射なので*2， $[b] R_1 = P$ となる $R_1 \in E(\bar{K})$ が存在する．このとき，
\begin{equation}
[ab] R_1 = [a]([b]R_1) = [a] P = \infty\ (\because P \in E[a])
\end{equation}
より， $R_1 \in E[ab]$ である．

（直感的な話）
この $R_1$ が， $[a]R_1 = Q$ を満たすとは限らないが， $R_1$ には $E[b]$ 分の自由度があることに注意する．つまり，任意の $B \in E[b]$ について， $[b](R_1 + B) = P$ が保たれる．以下，これを用いて $b$ 倍したときの値は変えないまま $a$ 倍したときの値が $Q$ になるように調整する．

この $R_1$ に対し，集合
\begin{equation}
\mathcal{A} = \{ [a] (R_1+A)\ |\ A\in E[b] \}
\end{equation}
を考える． $\mathcal{A}\subseteq E[b$ ] は明らかで， $A_1, A_2 \in E[b]$ に対して，
\begin{align}
&[a](R_1+A_1) = [a](R_1+A_2)\\
\Rightarrow & [a](A_1 - A_2) = \infty \\
\Rightarrow & A_1-A_2 \in E[a]
\Rightarrow & A_1 - A_2 \in E[a]\cap E[b] = \{\infty\}
\end{align}
となるため， $\#\mathcal{A} = \#E[b]$ であることが分かる． $\mathcal{A}\subseteq E[b$ ] と $\#\mathcal{A} =\#E[b]$ から， $\mathcal{A} = E[b]$ であることが示される．